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INTEGRACCION POR FRACCIONES PARCIALES |
Para poder distinguir cuando podemos usar
este método es cuando el denominador es
mayor al numerador en el exponente:
Funciones racionales propias son aquellas en que el grado del numerador es menor que la del denominador
Funciones racionales impropias, aquí el grado del numerador es igual o mayor que el grado del denominador
Existen 4 casos de este tipo de fracciones parciales (aunque estos cuatro casos se pueden combinar), a continuación mencionaremos los casos.
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CASO I |
CASO II |
CASO III |
CASO IV |
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Caso I
Resolver
la siguiente integral:
siempre debes de
reducir el denominador
DIFERENCIA DE
CUADRADOS
Descomponemos el término 
como una diferencia de
cuadrados
Por cada término que se tenga en el denominador será el número de fracciones que se tendrán
Para este procedimiento le quitamos la 
y el término 
Ahora trabajamos con las fracciones obtenidas, para conocer el valor de las incógnitas en este caso A y B
Realizamos las operaciones, para conocer el valor de las incógnitas:
Reduciendo términos:
Quitando paréntesis:
Juntamos términos semejantes y factorizamos (si se puede factorizar)
la factorizacion de un polinomio, con termino comun:
Ahora igualamos el primer término con el segundo término, esto es con términos semejantes
, ya que en el primer
miembro no existe una “x”
Despejando:
Por lo que nos quedan dos ecuaciones simultaneas:
una ecuacion
SIMULTÁNEA se puede resolver por los metodos
igualacion,
sustitucion, REDUCCION (suma-resta), determinante y grafico
___________
Si
Sustituimos en:
Despejando:
Con
los valores de 
y 
Los sustituimos en:
Como al principio le quitamos la 
y el término 
, ahora se lo agregamos para
tener unas integrales:
generalmente en integrales por fracciones
parciales se utiliza la integral
Para ambas:
Por lo que las integrales están completas y resolvemos
Caso II.
Resolver
la siguiente integral:
Para este procedimiento le quitamos la 
y el término 
Despejando:
Reduciendo términos:
Realizando operaciones:
Igualando primer término con el segundo término (aquí no se puede factorizar)
y 
Y despejando, tenemos:
y 
y 
Si 
Despejando
en: 
Con
estos valores: 
y 
Los sustituimos en:
Ahora le agregamos la 
y el término 
y resolvemos.
Ahora resolvemos cada integral:
Para la integral:
Sustituyendo:
La integral está completa, resolvemos:
Ahora resolvemos la otra integral:
Ocupamos la fórmula:
Para la integral:
Sustituimos:
La integral está completa, resolvemos:
Por lo tanto la integral queda como:
Para el caso III y El caso IV, en el
denominador el término siempre hay un término 
, el cual ya no se puede reducir.
Caso III
Resolver
la siguiente integral:
Para este procedimiento le quitamos la 
y el término 
Como ya no puede reducirse trabajamos con esta expresión:
para los casos III
y IV
Cuando en el denominador se tiene 
y ya no se puede reducir,
entonces en el numerador se colocaran
dos letras y a una se le pone la x, como se muestra de la siguiente forma: Ax+b, Cx+d,
etc
Ahora resolviendo:
Reduciendo términos:
Realizando operaciones:
Juntando términos semejantes y factorizando:
Igualando el primer término con el segundo término:
Despejando:
; 
; 
; 
; 
; 
; 
Juntamos las ecuaciones:
; 
;
Y
; 
Y las resolvemos como ecuaciones simultáneas:
_______
_______
_______
Este valor lo sustituimos en: 
Ahora resolvemos la otra ecuación simultánea:
; 
Son ecuaciones equivalentes, por lo que no tienen solución, sus valores son:
y 
Con los valores:
y 
Sustituimos en:
Ahora le agregamos la 
y el término 
y resolvemos.
Resolvemos las integrales. En ambas ocupamos:
Para las integrales:
Sustituyendo:
A ambas les falta un “2”, ´por lo que a completamos las integrales y resolvemos:
El resultado final es:
Caso IV
Resolver la siguiente integral
Para este procedimiento le quitamos la 
y el término 
Ahora resolviendo:
Reduciendo términos:
Agrupando términos y factorizando
Igualando términos:
Despejando términos:
Reduciendo:
Si: 
Tenemos:
Este
valor lo sustituimos en: 
Ahora tenemos una ecuación simultánea que resolveremos:
___________
Sustituyendo
B en:
Sustituyendo el valor de “C” en:
Con los valores de: 
los sustituimos en:
Ahora le agregamos la 
y el término 
y resolvemos.
Resolvemos cada integral:
Ocupamos la fórmula:
Sustituyendo:
La integral no está completa, la a completamos y resolvemos:
Reduciendo:
Ahora resolvemos la otra integral:
Ocupamos la fórmula:
Sustituyendo:
La integral le falta un “2” a completamos y resolvemos:
Y por último resolvemos la integral:
Ocupamos la fórmula:
Sustituyendo en la fórmula:
La integral está completa, resolvemos:
Juntando los tres resultados, se tiene:
Resolver la siguiente integral.
la factorizacion de un polinomio, con termino comun:
Factorizando:
Factorizacion
de un trinomio de la forma: 
1.
se ponen dos parentesis:
2.
dentro de cada parentesis. se
coloca la raiz cuadra de x
3.
en el primer parentesis se pone el
signo del segundo termino
4.
y en el segundo parentesis
colocamos el resultado de multiplicar el signo del segundo termino por el signo del tercer termino
5.
ahora buscamos dos numeros que
sumados nos den el segundo termino numerico con todo y signo y que multiplicados nos den el tercer valor
numerico con todo y signo
6.
por lo tanto la factorizacion queda
de la siguiente forma:
Para este procedimiento le quitamos la 
y el término 
Reduciendo términos:
Despejando:
Reduciendo términos:
Agrupando términos y factorizando:
Igualando términos y despejando
Sustituyendo 
en 
Nos queda una ecuación simultánea
La primera ecuación la multiplicamos por (-1)
-----------------
Sustituyendo en:
Estos valores los sustituimos en:
Ahora le agregamos la 
y el término 
y resolvemos.
En la tres integrales ocupamos la fórmula:
Para las tres integrales el valor de 
es el mismo
Sustituimos en la formula y vemos que las tres integrales están completas, resolvemos.
Por lo que nos queda:
Resolver la siguiente integral:
Para este procedimiento le quitamos la 
y el término 
En este caso se tienen 3 fracciones
Despejando
Reduciendo términos:
Juntando términos semejantes y factorizando:
Igualando términos:
Despejando términos y reduciendo:
Multiplicando
por (-1) a 
Este valor lo sustituimos en: 
Y multiplicando por (-1) 
Este valor lo sustituimos en: 
Con estos valores de 
los sustituimos en:
Ahora le agregamos la 
y el término 
y resolvemos.
En la primera y tercera ocupamos: 
y en la segunda ocupamos: 
x 
Sustituimos en las formulas y vemos que las tres integrales están completas, resolvemos.
Resolver la siguiente integral:
Que cuando el
denominador es igual o menor al numerador en exponentes, hay que hacer la
división algebraica de polinomio entre polinomio
La primera integral queda
Ahora la segunda integral la resolvemos por fracciones parciales.
Para este procedimiento le quitamos la 
y el término 
Despejamos y reducimos términos
Agrupando términos semejantes y factorizando:
Igualando términos semejantes:
Y este valor lo sustituimos en: 
Y este valor 
lo sustituimos en 
Con estos valores: 
los sustituimos en:
Ahora le agregamos la 
y el término 
y resolvemos.
En la primera y tercera ocupamos: 
y en la segunda ocupamos: 
y 
Sustituimos en las formulas y vemos que las tres integrales están completas, resolvemos.
Pero hay que recordar que antes de esta integral hay una integral ya resuelta y un signo menos que no hemos considerado.
Resolver la siguiente integral:
Que cuando el
denominador es igual o menor al numerador en exponentes, hay que hacer la
división algebraica de polinomio entre polinomio
Las dos primeras integrales quedan resueltas como:
Por lo que ahora resolvemos la tercera integral por el método de fracciones parciales.
Para este procedimiento le quitamos la 
y el término 
Despejando y sustituyendo:
Agrupando términos y factorizando
Igualando términos
Despejando términos
Tenemos dos ecuaciones simultáneas que resolvemos:
___________
Sustituyendo este valor en 
Estos valores: 
y 
los sustituimos en:
Ahora le agregamos la 
y el término 
y resolvemos.
En ambas integrales ocupamos la fórmula:
Para
ambas el valor de 
es el mismo
Sustituimos en la formula y vemos que las integrales están completas, resolvemos
Por lo que el resultado final es:
