INTEGRACCION POR FRACCIONES PARCIALES

 

 

 

 

Para poder distinguir cuando podemos usar este método es cuando  el denominador es mayor al numerador en el exponente: 

Funciones racionales propias son aquellas en que el grado del numerador  es menor que la del denominador

Funciones racionales impropias, aquí el grado del numerador es igual o mayor que el grado del denominador

Existen 4 casos de este tipo de fracciones parciales (aunque estos cuatro casos se pueden combinar), a continuación mencionaremos los casos.

CASO I

CASO II

CASO III

CASO IV

 

 

 

 

 

 

Caso I  

Resolver la siguiente integral:

 

 

 

 

                                      

 

siempre debes de reducir el denominador

DIFERENCIA DE CUADRADOS

 

Descomponemos el término   como una diferencia de cuadrados

Por cada término que se tenga en el denominador será  el número de fracciones que se tendrán

Para este procedimiento le quitamos la   y el término

Ahora trabajamos con las fracciones obtenidas, para conocer el valor de las incógnitas en este caso A y B

Realizamos las operaciones, para conocer el valor de las incógnitas:

Reduciendo términos:

Quitando paréntesis:

Juntamos términos semejantes y factorizamos (si se puede factorizar)

 

                                      

 

la factorizacion de un polinomio, con termino comun:

 

Ahora igualamos el primer término con el segundo término, esto es con términos semejantes

        

  , ya que en el primer miembro no existe una “x”

Despejando:

        

        

Por lo que nos quedan dos ecuaciones simultaneas:

        

 

                                      

 

una ecuacion SIMULTÁNEA se puede resolver por los metodos

igualacion, sustitucion, REDUCCION (suma-resta), determinante y grafico

 

___________

Si   

Sustituimos en: 

 

Despejando:

 

 

Con los valores de       y  

Los sustituimos en:

 

 

Como al principio le quitamos la   y el término  , ahora se lo agregamos para tener unas integrales:

 

 

                                      

 

generalmente en integrales por fracciones parciales se utiliza la integral

 

    

Para ambas:

Por lo que las integrales están completas y resolvemos

 

Caso II.

Resolver la siguiente integral:

 

Para este procedimiento le quitamos la   y el término

Despejando:

Reduciendo términos:

Realizando operaciones:

Igualando primer término con el segundo término (aquí no se puede factorizar)

         y   

Y despejando, tenemos:

         y   

         y   

Si           

Despejando en:  

Con estos valores:    y 

Los sustituimos en:

Ahora le agregamos la   y el término  y resolvemos.

Ahora resolvemos cada integral:

Para la integral:

    

Sustituyendo:

La integral está completa, resolvemos:

Ahora resolvemos la otra integral:

Ocupamos la fórmula:

Para la integral:

    

Sustituimos:

La integral está completa, resolvemos:

Por lo tanto la integral queda como:

 

 

                                      

 

Para el caso III y El caso IV, en el denominador el término siempre hay un término , el cual ya no se puede reducir.

 

Caso III

Resolver la siguiente integral:

 

Para este procedimiento le quitamos la   y el término

Como ya no puede reducirse trabajamos con esta expresión:

 

                                      

 

para los casos III y  IV

Cuando en el denominador se tiene  y ya no se puede reducir, entonces en el numerador  se colocaran dos letras y a una se le pone la x, como se muestra de la siguiente forma:   Ax+b, Cx+d,  etc

 

 

Ahora resolviendo:

Reduciendo términos:

Realizando operaciones:

Juntando términos semejantes y factorizando:

Igualando el primer término con el segundo término:

             

Despejando:

  ;     ;   ;  

 

  ;     ;   ;  

Juntamos las ecuaciones:

    ;      ;  

Y

    ; 

Y las resolvemos como ecuaciones simultáneas:

_______

 

_______

_______

Este valor lo sustituimos en: 

Ahora resolvemos la otra ecuación simultánea:

 ;   

 

Son ecuaciones equivalentes, por lo que no tienen solución, sus valores son:

   y  

Con los valores:

                      y  

Sustituimos en:

 

 

Ahora le agregamos la   y el término  y resolvemos.

 

Resolvemos las integrales. En ambas ocupamos:

Para las integrales:

       

Sustituyendo:

A ambas les falta un “2”, ´por lo que a completamos las integrales y resolvemos:

 

El resultado final es:

 

 

Caso IV

 

 

Resolver la siguiente integral

Para este procedimiento le quitamos la   y el término

Ahora resolviendo:

Reduciendo términos:

Agrupando términos y factorizando

Igualando términos:

              

Despejando términos:

              

Reduciendo:

              

Si:  

Tenemos:

Este valor lo sustituimos en: 

Ahora tenemos una ecuación simultánea que resolveremos:

 

 

___________

Sustituyendo B  en: 

Sustituyendo el valor de “C”  en:    

Con los valores de:                          los sustituimos en:

 

Ahora le agregamos la   y el término  y resolvemos.

 

                                      

 

 

Resolvemos cada integral:

Ocupamos la fórmula:

Sustituyendo:

La integral no está completa, la a completamos y resolvemos:

Reduciendo:

 

 

Ahora resolvemos la otra integral:

Ocupamos la fórmula:

Sustituyendo:

La integral le falta un “2” a completamos y resolvemos:

Y por último resolvemos la integral:

Ocupamos la fórmula:

       

     

Sustituyendo en la fórmula:

La integral está completa, resolvemos:

Juntando los tres resultados, se tiene:

 

Resolver la siguiente integral.

 

                                      

 

la factorizacion de un polinomio, con termino comun:

 

Factorizando:

 

 

 

 

 

 

 

 

                                      

 

Factorizacion  de un trinomio de la forma: 

1.     se ponen dos parentesis:

2.     dentro de cada parentesis. se coloca la raiz cuadra de x

3.     en el primer parentesis se pone el signo del segundo termino

4.     y en el segundo parentesis colocamos el resultado de multiplicar el signo del segundo termino por  el signo del tercer termino

5.     ahora buscamos dos numeros que sumados nos den el segundo termino numerico con todo y signo  y que multiplicados nos den el tercer valor numerico con todo y signo

6.     por lo tanto la factorizacion queda de la siguiente forma:

 

Para este procedimiento le quitamos la   y el término

Reduciendo términos:

Despejando:

Reduciendo términos:

 

Agrupando términos y factorizando:

Igualando términos y despejando

                    

                    

                    

Sustituyendo               en                   

                    

                    

                    

 

Nos queda una ecuación simultánea

La primera ecuación la multiplicamos por  (-1)

 

-----------------

Sustituyendo en:     

 

Estos valores los sustituimos en:

Ahora le agregamos la   y el término  y resolvemos.

 

En la tres integrales ocupamos la fórmula:

          

Para las tres integrales el valor de   es el mismo

Sustituimos en la formula y vemos que las tres integrales están completas, resolvemos.

Por lo que nos queda:

Resolver la siguiente integral:

Para este procedimiento le quitamos la   y el término

En este caso se tienen 3 fracciones

Despejando

Reduciendo términos:

Juntando términos semejantes y factorizando:

Igualando términos:

              

Despejando términos y reduciendo:

              

              

Multiplicando por (-1) a   

 

Este valor lo sustituimos en:  

Y multiplicando por (-1)  

Este valor lo sustituimos en:   

Con estos valores de               los sustituimos en:


Ahora le agregamos la   y el término  y resolvemos.

 

En la primera y tercera ocupamos:    y en la segunda ocupamos:

          

      x           

 

Sustituimos en las formulas y vemos que las tres integrales están completas, resolvemos.

Resolver la siguiente integral:

 

                                      

 

Que cuando el denominador es igual o menor al numerador en exponentes, hay que hacer la división algebraica de polinomio entre polinomio

 

 

 

 

 

La primera integral queda

Ahora la segunda integral la resolvemos por fracciones parciales.

Para este procedimiento le quitamos la   y el término

Despejamos y reducimos términos

 

Agrupando términos semejantes y factorizando:

Igualando términos semejantes:

               

               

               

Y este valor lo sustituimos en:    

Y este valor     lo sustituimos en 

Con estos valores:                     los sustituimos en:

Ahora le agregamos la   y el término  y resolvemos.

En la primera y tercera ocupamos:    y en la segunda ocupamos:

          

      y           

 

Sustituimos en las formulas y vemos que las tres integrales están completas, resolvemos.

 

Pero hay que recordar que antes de esta integral hay una integral ya resuelta y  un signo menos que no hemos considerado.

 

Resolver la siguiente integral:

 

                                      

 

Que cuando el denominador es igual o menor al numerador en exponentes, hay que hacer la división algebraica de polinomio entre polinomio

 

 

 

Las dos primeras integrales quedan resueltas como:

Por lo que ahora resolvemos la tercera integral por el método de fracciones parciales.

Para este procedimiento le quitamos la   y el término

Despejando y sustituyendo:

Agrupando términos y factorizando

Igualando términos

        

Despejando términos

        

        

Tenemos dos ecuaciones simultáneas que resolvemos:

___________

Sustituyendo este valor en 

Estos valores:        y       los sustituimos en:

Ahora le agregamos la   y el término  y resolvemos.

En ambas integrales ocupamos la fórmula:

       

Para ambas el valor de   es el mismo

Sustituimos en la formula y vemos que las integrales están completas, resolvemos

Por lo que el resultado final es: