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INTEGRACCION POR FRACCIONES PARCIALES |
Para poder distinguir cuando podemos usar
este método es cuando el denominador es
mayor al numerador en el exponente:
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Funciones racionales propias son aquellas en que el grado del numerador es menor que la del denominador
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Funciones racionales impropias, aquí el grado del numerador es igual o mayor que el grado del denominador
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Existen 4 casos de este tipo de fracciones parciales (aunque estos cuatro casos se pueden combinar), a continuación mencionaremos los casos.
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CASO I |
CASO II |
CASO III |
CASO IV |
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Caso I
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Resolver
la siguiente integral:
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![]()
siempre debes de
reducir el denominador
DIFERENCIA DE
CUADRADOS
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![]()
Descomponemos el término
como una diferencia de
cuadrados
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Por cada término que se tenga en el denominador será el número de fracciones que se tendrán
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Para este procedimiento le quitamos la
y el término ![]()
Ahora trabajamos con las fracciones obtenidas, para conocer el valor de las incógnitas en este caso A y B
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Realizamos las operaciones, para conocer el valor de las incógnitas:
![]()
Reduciendo términos:
![]()
Quitando paréntesis:
![]()
Juntamos términos semejantes y factorizamos (si se puede factorizar)
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la factorizacion de un polinomio, con termino comun:
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![]()
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Ahora igualamos el primer término con el segundo término, esto es con términos semejantes
![]()
![]()
, ya que en el primer
miembro no existe una “x”
Despejando:
![]()
![]()
Por lo que nos quedan dos ecuaciones simultaneas:
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una ecuacion
SIMULTÁNEA se puede resolver por los metodos
igualacion,
sustitucion, REDUCCION (suma-resta), determinante y grafico
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![]()
___________
![]()
![]()
Si
![]()
Sustituimos en:
![]()
![]()
Despejando:
![]()
Con
los valores de
y ![]()
Los sustituimos en:
![]()
![]()
Como al principio le quitamos la
y el término
, ahora se lo agregamos para
tener unas integrales:
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generalmente en integrales por fracciones
parciales se utiliza la integral
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![]()
![]()
Para ambas:
![]()
Por lo que las integrales están completas y resolvemos
![]()
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Caso II.
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Resolver
la siguiente integral:
![]()
Para este procedimiento le quitamos la
y el término ![]()
![]()
![]()
Despejando:
![]()
Reduciendo términos:
![]()
Realizando operaciones:
![]()
Igualando primer término con el segundo término (aquí no se puede factorizar)
y ![]()
Y despejando, tenemos:
y ![]()
y ![]()
Si
Despejando
en: ![]()
![]()
![]()
Con
estos valores:
y ![]()
Los sustituimos en:
![]()
![]()
Ahora le agregamos la
y el término
y resolvemos.
![]()
Ahora resolvemos cada integral:
![]()
![]()
Para la integral:
![]()
Sustituyendo:
![]()
La integral está completa, resolvemos:
![]()
Ahora resolvemos la otra integral:
![]()
Ocupamos la fórmula:
![]()
Para la integral:
![]()
![]()
Sustituimos:
![]()
La integral está completa, resolvemos:
![]()
![]()
Por lo tanto la integral queda como:
![]()
Para el caso III y El caso IV, en el
denominador el término siempre hay un término
, el cual ya no se puede reducir.
Caso III
![]()
Resolver
la siguiente integral:
![]()
Para este procedimiento le quitamos la
y el término ![]()
![]()
Como ya no puede reducirse trabajamos con esta expresión:
![]()
para los casos III
y IV
Cuando en el denominador se tiene
y ya no se puede reducir,
entonces en el numerador se colocaran
dos letras y a una se le pone la x, como se muestra de la siguiente forma: Ax+b, Cx+d,
etc
![]()
Ahora resolviendo:
![]()
![]()
Reduciendo términos:
![]()
Realizando operaciones:
![]()
Juntando términos semejantes y factorizando:
![]()
![]()
Igualando el primer término con el segundo término:
![]()
Despejando:
;
;
; ![]()
;
;
; ![]()
Juntamos las ecuaciones:
;
;
Y
; ![]()
Y las resolvemos como ecuaciones simultáneas:
![]()
![]()
_______
![]()
![]()
_______
![]()
![]()
_______
![]()
![]()
Este valor lo sustituimos en: ![]()
![]()
![]()
Ahora resolvemos la otra ecuación simultánea:
; ![]()
![]()
![]()
Son ecuaciones equivalentes, por lo que no tienen solución, sus valores son:
y ![]()
Con los valores:
y ![]()
Sustituimos en:
![]()
![]()
Ahora le agregamos la
y el término
y resolvemos.
![]()
![]()
Resolvemos las integrales. En ambas ocupamos:
![]()
Para las integrales:
![]()
![]()
Sustituyendo:
![]()
A ambas les falta un “2”, ´por lo que a completamos las integrales y resolvemos:
![]()
![]()
![]()
![]()
El resultado final es:
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Caso IV
![]()
Resolver la siguiente integral
![]()
Para este procedimiento le quitamos la
y el término ![]()
![]()
Ahora resolviendo:
![]()
Reduciendo términos:
![]()
![]()
Agrupando términos y factorizando
![]()
Igualando términos:
![]()
Despejando términos:
![]()
Reduciendo:
![]()
Si: ![]()
Tenemos:
![]()
Este
valor lo sustituimos en: ![]()
![]()
![]()
![]()
Ahora tenemos una ecuación simultánea que resolveremos:
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
___________
![]()
![]()
Sustituyendo
B en:
![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
Sustituyendo el valor de “C” en:
![]()
![]()
![]()
![]()
Con los valores de:
los sustituimos en:
![]()
![]()
Ahora le agregamos la
y el término
y resolvemos.
![]()
![]()
![]()
Resolvemos cada integral:
![]()
Ocupamos la fórmula:
![]()
![]()
![]()
Sustituyendo:
![]()
La integral no está completa, la a completamos y resolvemos:
![]()
Reduciendo:
![]()
Ahora resolvemos la otra integral:
![]()
Ocupamos la fórmula:
![]()
![]()
![]()
Sustituyendo:
![]()
La integral le falta un “2” a completamos y resolvemos:
![]()
Y por último resolvemos la integral:
![]()
Ocupamos la fórmula:
![]()
![]()
![]()
![]()
Sustituyendo en la fórmula:
![]()
La integral está completa, resolvemos:
![]()
![]()
Juntando los tres resultados, se tiene:
![]()
Resolver la siguiente integral.
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la factorizacion de un polinomio, con termino comun:
![]()
![]()
Factorizando:
![]()
Factorizacion
de un trinomio de la forma: ![]()
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1.
se ponen dos parentesis:
![]()
2.
dentro de cada parentesis. se
coloca la raiz cuadra de x
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3.
en el primer parentesis se pone el
signo del segundo termino
![]()
4.
y en el segundo parentesis
colocamos el resultado de multiplicar el signo del segundo termino por el signo del tercer termino
![]()
5.
ahora buscamos dos numeros que
sumados nos den el segundo termino numerico con todo y signo y que multiplicados nos den el tercer valor
numerico con todo y signo
![]()
![]()
6.
por lo tanto la factorizacion queda
de la siguiente forma:
![]()
![]()
![]()
Para este procedimiento le quitamos la
y el término ![]()
![]()
Reduciendo términos:
![]()
Despejando:
![]()
Reduciendo términos:
![]()
![]()
![]()
Agrupando términos y factorizando:
![]()
Igualando términos y despejando
![]()
![]()
![]()
Sustituyendo
en
![]()
![]()
![]()
Nos queda una ecuación simultánea
![]()
![]()
La primera ecuación la multiplicamos por (-1)
![]()
![]()
![]()
![]()
-----------------
![]()
![]()
Sustituyendo en:
![]()
![]()
![]()
![]()
Estos valores los sustituimos en:
![]()
![]()
Ahora le agregamos la
y el término
y resolvemos.
![]()
![]()
En la tres integrales ocupamos la fórmula:
![]()
![]()
Para las tres integrales el valor de
es el mismo
![]()
Sustituimos en la formula y vemos que las tres integrales están completas, resolvemos.
![]()
![]()
Por lo que nos queda:
![]()
Resolver la siguiente integral:
![]()
Para este procedimiento le quitamos la
y el término ![]()
En este caso se tienen 3 fracciones
![]()
Despejando
![]()
Reduciendo términos:
![]()
![]()
Juntando términos semejantes y factorizando:
![]()
Igualando términos:
![]()
Despejando términos y reduciendo:
![]()
![]()
Multiplicando
por (-1) a ![]()
![]()
![]()
Este valor lo sustituimos en: ![]()
![]()
![]()
![]()
Y multiplicando por (-1) ![]()
![]()
![]()
Este valor lo sustituimos en: ![]()
![]()
![]()
![]()
Con estos valores de
los sustituimos en:
![]()
![]()
Ahora le agregamos la
y el término
y resolvemos.
![]()
![]()
En la primera y tercera ocupamos:
y en la segunda ocupamos: ![]()
![]()
x
Sustituimos en las formulas y vemos que las tres integrales están completas, resolvemos.
![]()
![]()
![]()
![]()
Resolver la siguiente integral:
![]()
Que cuando el
denominador es igual o menor al numerador en exponentes, hay que hacer la
división algebraica de polinomio entre polinomio

![]()
![]()
![]()
La primera integral queda
![]()
Ahora la segunda integral la resolvemos por fracciones parciales.
![]()
![]()
Para este procedimiento le quitamos la
y el término ![]()
![]()
Despejamos y reducimos términos
![]()
![]()
![]()
Agrupando términos semejantes y factorizando:
![]()
Igualando términos semejantes:
![]()
![]()
![]()
![]()
Y este valor lo sustituimos en: ![]()
![]()
![]()
![]()
![]()
Y este valor
lo sustituimos en ![]()
![]()
![]()
Con estos valores:
los sustituimos en:
![]()
![]()
Ahora le agregamos la
y el término
y resolvemos.
![]()
![]()
![]()
En la primera y tercera ocupamos:
y en la segunda ocupamos: ![]()
![]()
y
Sustituimos en las formulas y vemos que las tres integrales están completas, resolvemos.
![]()
![]()
Pero hay que recordar que antes de esta integral hay una integral ya resuelta y un signo menos que no hemos considerado.
![]()
Resolver la siguiente integral:
![]()
Que cuando el
denominador es igual o menor al numerador en exponentes, hay que hacer la
división algebraica de polinomio entre polinomio

![]()
![]()
![]()
Las dos primeras integrales quedan resueltas como:
![]()
![]()
Por lo que ahora resolvemos la tercera integral por el método de fracciones parciales.
![]()
![]()
Para este procedimiento le quitamos la
y el término ![]()
![]()
Despejando y sustituyendo:
![]()
![]()
![]()
Agrupando términos y factorizando
![]()
Igualando términos
![]()
Despejando términos
![]()
![]()
Tenemos dos ecuaciones simultáneas que resolvemos:
![]()
![]()
___________
![]()
![]()
Sustituyendo este valor en ![]()
![]()
![]()
![]()
Estos valores:
y
los sustituimos en:
![]()
![]()
Ahora le agregamos la
y el término
y resolvemos.
![]()
![]()
En ambas integrales ocupamos la fórmula:
![]()
![]()
Para
ambas el valor de
es el mismo
![]()
Sustituimos en la formula y vemos que las integrales están completas, resolvemos
![]()
Por lo que el resultado final es:
![]()